Sistem Persamaan Liner Dua Variabel

Ø  SISTEM PERSAMAAN LINIEAR DUA VARIABEL

Pengertian

Persamaan linear adalah persamaan yang memiliki variabel (peubah) berpangkat satu. Persamaan linear yang memiliki dua variabel dinamakan Persamaan Linear Dua Variabel dan secara umum variabel-variabelnya dinyatakan dengan x dan y.

Bentuk persamaan linear dua variabel umumnya dinyatakan dengan ax + by = c, dimana a, b, dan c merupakan anggota himpunan bilangan real. Pada persaman ax + by = c, a dan b dinamakan koefisien, dan c dinamakankontanta.

Jika terdapat dua atau lebih persamaan linear dua variabel dan variabel-varibelnya saling terkait maka persamaan-persamaan tersebut akan membentuk suatu sistem persamaan yang dinamakan Sistem Persaman Linear dua Variabel (SPLDV).

Bentuk umumnya seperti berikut :

a1x + b1y = c1

a2x  + b2y = c2

Dengana1, b1,  a2, b2 adalah koefisienserta x dan y adalah variabel.

Contoh :

x – y =4 … (i)

x + y =6 … (ii)

Persamaan (i) dan (ii) disebut sistem persamaan linear dua variabel karena kedua persamaan tersebut memiliki satu penyelesaian yaitu (5,1)

Penyelesaian Sistem persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan :

a.       Metode substitusi

Bila menggunakan metode subtitusi kita dapat menggantikan suatu variabel dengan variabel dari persamaan lain.
Contoh :
2x – y = 6 ……..(i)
x + y = 3 ……..(ii)

Langkah awal
Ubahlah salah satu persamaan dalam bentuk X = …. Atau y = ….
Dari persamaan (i), kita dapat memperoleh : 2x – 6 = y

Langkah  kedua
Subtitusikan persamaan diatas ke perssamaan (ii) sehingga diperoleh :
x + (2x – 6) = 3
3x – 6 = 3
3x = 9
x = 3

Langkah Ketiga
Nilai x = 3 disubtansikan ke persamaan (i) atau ke persamaan (ii).
Misalkan x = 3 disubtansikan ke persamaan (i), diperoleh :
2.3 – y =6
6 – y = 6
y = 6-6
y = 0

b.      Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Contoh diatas dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi berikut.

Contoh :

2x – y = 6 …. (i)

x + y = 3 …. (ii)

Langkah awal
mulailah dengan menghilangkan variabel x
2x – y = 6 | x 1 |2x – y = 6
x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6

-3 y = 0
y = 0

Langkah Kedua
hilangkan variabel y
2 x – y  = 6
    x + y = 3
        3x = 9
x = 3
jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

c.       Metode Grafik

Dengan metode grafik, kita harus menggambar grafik dari kedua persamaan, kemudian titik potong kedua grafik tersebut merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.
Contoh :
2x – y = 6
x + y = 3

Langkah awal
gambarlah grafik persamaan 2x – y = 6.
kita harus menentukan terlebih dahulu titik potong grafik terhadap sumbu X dan sumbu Y.
1) titik potong terhadap sumbu X, maka y= 0
2x – y = 6
2x – 0 = 6
2x = 6
x = 3

2) titik potong terhadap sumbu Y, maka  x = 0.
x + y = 3
0 + y = 3
y = 3
titik potong terhadap Y adalah (0,3).

d.      Metode campuran dari metode eliminasi dan substitusi

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan metode campuran dari eliminasi dan subtitusi.

Contoh :

2x – y = 3 ….. (i)

x + y = 3 ….. (ii)

Langkah awal : metode eliminasi
hilangkan variabel x
2x – y = 6 |x 1 |2x – y  = 6
x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6
-3y = 0
y = 0

Langkah kedua : metode subtitusi
masukkan nilai y = 0 ke persamaan (i) atau ke persamaan ke (ii), misalkan nilai y = 0 dimasukkan ke persamaan (i).
2x – 0 = 6
2x = 6
x  = 3
jadi, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel diatas adlah x = 3 dan y = 0, dituliskan HP = {(3,0)}

Jenis-jenis SPLDV

SPLDV terdiri dari dua jenis, yaitu:

1.    SPLDV Homogen, adalah SPLDV yang mempunyai nilai

ax + by = 0        atau              a₁x + b₁y = 0

px + qy = 0                            a₂x + b₂y = 0

2x + 5y = 0        

3x - 7y = 0

2.    SPLDV tidak Homogen, adalah SPLDV yang mempunyai nilai konstanta sama dengan nol.

ax + by 0          atau              a₁x + b₁y c₁

px + qy 0                              a₂x + b₂y c₂

2x + 5y 1

3x - 7y 16

Sistem persamaan linear dua variabel, atau sering disingkat sebagai SPLDV, seringkali digunakan untuk memecahkan permasalahan di sekitar kita. Sebelum kita mempelajari SPLDV, sebaiknya kita kenal dulu persamaan linear dua variabel. Perhatikan permasalahan berikut.

Anggita akan berencana membeli pensil dan bolpoin di suatu toko alat tulis. Ia berencana akan membeli total sebanyak 5 buah alat tulis. Berapa banyaknya masing-masing pensil dan bolpoin yang mungkin dibeli oleh Anggita?

Untuk mendaftar semua kemungkinannya, kita dapat menggunakan tabel seperti berikut.

Permasalahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut.

dengan p dan b secara berturut-turut merupakan banyaknya pensil dan bolpoin yang akan dibeli oleh Anggita.

Karena banyakanya pensil ditambah banyaknya bolpoin adalah 5 buah, maka banyaknya pensil sama dengan 5 dikurangi banyaknya bolpoin dan demikian juga banyaknya bolpoin sama dengan 5 dikurangi dengan banyaknya pensil. Atau dengan kata lain, persamaan p +b = 5 dapat juga dituliskan menjadi bentuk persamaan berikut.

Berikut ini beberapa contoh bentuk persamaan linear dua variabel lannya.

Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Setelah mengenal persamaan linear dua variabel, selanjutnya kita lanjutkanpembahasan kita ke SPLDV. Perhatikan permasalahan berikut.

Pergi ke Kantin
Pada saat jam istirahat sekolah, Ana dan Andika bersama-sama pergi ke kantin sekolah. Ana membeli 3 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00. Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00. Berapakah harga masing-masing pisang goreng dan donat per buahnya?

Misalkan x dan y secara berturut-turut merupakan harga satuan pisang goreng dan donat yang telah dibeli di kantin sekolah tersebut. Karena Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 3.500,00, maka kalimat tersebut dapat dimodelkan ke dalam persamaan,

Sedangkan Andika membeli 4 buah pisang goreng dan 2 donat dengan harga seluruhnya Rp 4.000,00, maka kalimat tersebut dapat dituliskan ke dalam persamaan,

Persamaan-persamaan 3x + 2x = 3.500 dan 4x + 2y = 4.000 merupakan persamaan-persamaan yang berhubungan, karena kedua persamaan tersebut memiliki 2 variabel yang sama. Mudahnya, kedua persamaan tersebut dimodelkan dari transaksi Ana dan Andika ketika mereka berdua membeli dua makanan yang sama di kantin yang juga sama. Sehingga, transaksi yang dilakukan oleh Ana akan sesuai dengan transaksi yang dilakukan oleh Andika. Artinya, transaksi mereka berdua dipengaruhi oleh harga satuan pisang goreng dan donat pada kantin tersebut. Sehingga, kedua persamaan 3x + 2x = 3.500 dan 4x + 2y = 4.000 disebut sebagai suatu sistem. Karena sistem tersebut terdiri dari persamaan-persamaan linear dua variabel, maka sistem tersebut disebut sistem persamaan linear dua variabel.

Sistem persamaan linear dua variabel tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Selanjutnya, dapatkah kita menentukan harga masing-masing pisang goreng dan donat yang telah dibeli oleh Ana dan Andika? Perhatikan bahwa banyaknya donat yang mereka beli adalah sama, yaitu 2 buah. Sedangkan banyaknya pisang goreng yang dibeli oleh Ana lebih sedikit 1 buah daripada yang dibeli oleh Andika. Karena Andika mengeluarkan uang Rp 4.000,00 untuk membeli semua makanan ringannya, sedangkan Ana mengeluarkan Rp 500,00 lebih sedikit daripada Andika, maka dengan mudah kita dapat menyimpulkan bahwa harga pisang gorengnya adalah Rp 500,00 tiap buahnya.

Apabila harga pisang goreng tiap buahnya adalah Rp 500,00, maka selanjutnya kita dapat menentukan harga 1 buah donat dengan menggunakan transaksi Ana atau Andika. Kali ini kita akan menggunakan transaksi Ana untuk menentukan harga 1 donat.

Sehingga diperoleh harga satu donat adalah Rp 1.000,00. Apakah jawaban ini benar? Untuk mengetahui kebenarannya, kita dapat mengujinya ke dalam permasalahan.

Ana membeli 3 pisang goreng dan 2 donat, maka dia harus membayar 3 × 500 + 2 × 1.000 = 1.500 + 2.000 = 3.500. Untuk kasus Ana, harga pisang goreng dan donat memenuhi. Selanjutnya kita uji juga ke dalam kasusnya Andika. Andika membeli 4 pisang goreng dan 2 donat, maka dia harus membayar 4 × 500 + 2 × 1.000 = 2.000 + 2.000 = 4.000. Harga satuan pisang goreng dan donat yang telah kita cari ternyata memenuhi kedua persamaan yang diberikan. Sehingga dapat dikatakan bahwa x = 500 dan y = 1.000 merupakan selesaian dari SPLDV tersebut.

Catatan Selesaian dari SPLDV merupakan nilai dua variabel yang memenuhi kedua persamaan yang terdapat dalam SPLDV tersebut. Apabila nilai dua variabel tersebut hanya memenuhi salah satu persamaan saja, atau bahkan tidak memenuhi keduanya, maka nilai variabel-variabel tersebut bukanlah selesaian dari SPLDV tersebut.

Sebagai ilustrasi, x = 1.000 dan y = 250 memenuhi persamaan 3x + 2y = 3.500. Akan tetapi nilai tersebut tidak memenuhi persamaan kedua karena 4 × 1.000 + 2 × 250 = 4.500 ≠ 4.000. Sehingga x = 1.000 dan y = 250 bukan selesaian dari SPLDV yang terdiri dari persamaan-persamaan 3x + 2y = 3.500 dan 4x + 2y = 3.500.

Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan perhitungannya dengan menggunakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Biasanya permasalahan tersebut disajikan dalam bentuk soal cerita.

Untuk memperoleh penyelesaiannya, ada beberapa tahapan yang Anda harus dilakukan. Adapun langkah-langkah harus dilakukan dalam menyelesaikan soal cerita sebagai berikut: 1). Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel; 2). Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel; dan  3). Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

Untuk contoh penerapan dalam bentuk soal cerita silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Penyelesaian:

Kita misalkan harga 1 kg mangga = x dan harga 1 kg apel = y, maka:

2x + y = 15000

x + 2y = 18000

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode cepat, maka:

=> y = (2 . 18000 – 15000.1)/(2.2 – 1.1)

=> y = (36000 – 15000)/(4 – 1)

=> y = 21000/3

=> y = 7000

Substitusi nilai y = 7000 ke persamaan 2x + y = 15000, maka:

=> 2x + y = 15000

=> 2x + 7000 = 15000

=> 2x = 8000

=> x = 4000

Dengan demikian, harga 1 kg mangga adalah Rp4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah Rp7.000,00.

Harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah:

= 5x + 3y

= 5.4000 + 3.7000

= 20000 + 21000

= 41000

Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah Rp 41.000,00

Contoh Soal 2

Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang.

Penyelesaian:

Kita misalkan umur ayah = x dan umur anak = y, maka:

x – y = 26

(x – 5) + (y – 5) = 34 => x + y = 44

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode cepat, maka:

=> y = (1 . 44 – 26 . 1)/(1 . 1 – 1 . (– 1))

=> y = 18/2

=> y = 9

Substitusi nilai y = 9 ke persamaan x – y = 26, maka:

=> x – y = 26

=> x – 9 = 26

=> x = 26 + 9

=> x = 35

Dengan demikian, umur ayah sekarang adalah 35 tahun dan umur anak perempuan sekarang adalah 9 tahun.  Jadi, umur ayah dan umur anak dua tahun yang akan datang adalah 37 tahun dan 11 tahun

Contoh Soal 3

Asti dan Anton bekerja pada sebuah perusahaan sepatu. Asti dapat membuat tiga pasang sepatu setiap jam dan Anton dapat membuat empat pasang sepatu setiap jam. Jumlah jam bekerja Asti dan Anton 16 jam sehari, dengan banyak sepatu yang dapat dibuat 55 pasang. Jika banyaknya jam bekerja keduanya tidak sama, tentukan lama bekerja Asti dan Anton.

Penyelesaian:

Kita misalkan lama kerja Asti = x dan lama kerja Anton = y, maka:

x + y = 16

3x + 4y = 55

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode cepat, maka:

=> y = (1 . 55 – 16 . 3)/(1 . 4 – 1 . 3)

=> y = (55 – 48)/(4 – 2)

=> y = 7

Substitusi nilai y = 7 ke persamaan x + y = 16, maka:

=> x + y = 16

=> x + 7 = 16

=> x = 16 – 7

=> x = 9

Dengan demikian, lama bekerja Asti adalah 9 jam dan Anton adalah 7 jam.

Contoh Soal 4

Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50 kg. Harga 1 kg beras jenis I adalah Rp 6.000,00 dan jenis II adalah Rp 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp 306.000,00 maka tentukan jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual.

Penyelesaian:

Kita misalkan jumlah beras jenis I = x dan jumlah beras jenis I = y, maka:

x + y = 50

6000x + 6200y = 306000

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode cepat, maka:

=> y = (1 . 306000 – 50 . 6000)/(1 . 6200 – 1 . 6000)

=> y = (306000 – 300000)/(6200 – 6000)

=> y = 6000/200

=> y = 30

Substitusi nilai y = 30 ke persamaan x + y = 50, maka:

=> x + y = 50

=> x + 30 = 50

=> x = 50 – 30

=> x = 20

Dengan demikian, jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual adalah 20 kg dan 30 kg.

Contoh Soal 5

Jumlah panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah 32 cm, sedangkan luasnya 240 cm2. Tentukan (a) panjang dan lebarnya, (b) kelilingnya, dan (c) panjang diagonal persegi panjang.

Penyelesaian:

Kita misalkan panjang = x dan lebar = y, maka:

x + y = 32 => x = 32 – y

x . y = 240

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakanmetode substitusi, maka:

=> x . y = 240

=> (32 – y) . y = 240

=> 32y – y2 = 240

=> y2 – 32y + 240 = 0

=> (y – 20)(y – 12) = 0

=> y1 = 20 dan y2 = 12

Substitusi nilai y = 20 ke persamaan x + y = 32, maka:

=> x + y = 32

=> x + 20 = 32

=> x = 32 – 20

=> x = 12 (tidak mungkin panjang lebih kecil dari lebar persegi panjang)

Substitusi nilai y = 12 ke persamaan x + y = 32, maka:

=> x + y = 32

=> x + 12 = 32

=> x = 32 – 12

=> x = 20 (memenuhi)

(a) panjang dan lebarnya adalah 20 cm dan 12 cm

(b) keliling persegi panjang dirumuskan:

K = 2(p + l)

K = 2( x + y)

K = 2(20 cm + 12 cm)

K = 64 cm

(c) panjang diagonal (Pd) persegi panjang dirumuskan:

Pd = √(x2 + y2)

Pd = √(202 + 122)

Pd = √(400 + 144)

Pd = √544

Pd = √(16 . 34)

Pd = 4√34 cm