Soal dan Pembahasan Gerak Harmonik Kelas XI Kurikulum 2013

Soal dan Pembahasan

1. Sasuke punya sebuah kawat dengan luas penampang 2 mm², kemudian diregangkan oleh gaya chidorinya sebesar 5,4 N sehingga bertambah panjang sebesar 5 cm. Bila panjang kawat mula-mula adalah 30 cm, berpakah modulus elastisitas dari kawat tersebut?
Jawab :
A = 2 mm² = 2.10^-6 m
F = 5,4 N
Δl = 5 cm = 5.10^-2 m
lo = 30 cm = 3.10^-1 m
Modulus young = [5,4 x 3.10^-1]/[2.10^-6 x 5.10^-2] = 1,62.10⁶ N/m²
2. Sebuah batang besi yang panjangnya 2 m, penampangnya berukuran 4 mm x 2 mm. Modulus elastisitas besi tersebut adalah 10⁵ N/mm². Jika pada ujung batang ditarik dengan gaya 40 N. Berapa pertambahan panjang besi tersebut?
Jawab :
xo = 2 m = 2.10³ mm
A = 8 mm²
σ = 10⁵ N/mm²
F = 40 N
dari rumus

maka
Δx = [F.xo]/[A.E] = [40.2.10³]/[ 8.10⁵] = 0,1 mm
3. Sebuah kawat luas penampangnya 4 mm², kemudian diregangkan oleh gaya sebesar 8 N sehingga bertambah panjang 0,08 cm. Bila panjang kawat mula-mula adalah 60 cm, berapakahh tegangan dan regangan kawat tersebut?


Jawab :
A = 4 mm² = 4.10^-6 m²
F = 8 N
Δx = 0,08 cm
xo = 60 cm
Tegangan = F/A = 8/4.10^-6 = 2.10⁶ N/m²
Regangan = 0,08/60 = 1,333 … x 10^-3


4. Soal Elastisitas berikutnya adalah, jika sobat punya kawat A dan kawat B sama panjang dengan perbandingan diameter 1:2, masing-masing ditarik oleh gaya sebesar F, sehingga mengalami pertambahan panjang dengan perbandingn 3:1. Pertanyaannya berapa nilai perbandingan dari modulus young kawat A dan kawat B?
Jawab :
Perbandingan diameter A : B = 1:2 maka perbandingan luas penampang = 1² : 2² = 1:4
perbandingan Δl A dan B = 3:1
jika melihat rumus modulus young


E_A/E_B = [F_A/F_B] x [Luas Alas B/Luas Alas A] x [Δl_B/Δl_A] E_A/E_B = 1/1 x 4/1 x 1/3 = 4/3
jadi  perbandingan modulus young kawat A dan Kawat B = 4:3
5. Suatu pegas mempunyai konstanta 100 N/m. Ujung atas pegas dikaitkan pada penyanggah dan ujung bawah pegas digantungi beban bermassa 4 kg. Jika pegas digetarkan harmonik sederhana maka periode dan frekuensi getaran pegas adalah…

Diketahui :
Konstanta pegas (k) = 100 N/m
Massa beban (m) = 4 kg
Ditanya : Periode (T) dan frekuensi (f) pegas
Jawab :
Rumus periode gerak harmonik sederhana :

Keterangan :
T = periode getaran pegas, m = massa beban, k = konstanta pegas
Periode getaran pegas :
   
Frekuensi getaran pegas :
f = 1/T = 1/1,256 = 0,8 Hertz
6. Data hasil percobaan pertambahan panjang pegas ketika digantungi beban ditunjukan pada tabel di bawah.


Jika pegas tersebut digantungi beban bermassa 50 gram lalu pegas digetarkan harmonik sederhana maka frekuensi dan periode getaran sistem pegas-beban adalah…

Diketahui :
Massa beban (m) = 50 gram = 0,05 kg
Konstanta pegas (k) = ….
Ditanya : Frekuensi (f) dan periode (T)
Jawab :
Konstanta pegas :


Frekuensi getaran pegas :


Periode getaran pegas :
T = 1/f = 1/15,9 = 0,06 sekon
7.Sebuah beban bermassa 250 gram digantung dengan sebuah pegas yang memiliki kontanta 100 N/m kemudian disimpangkan hingga terjadi getaran selaras. Tentukan periode getarannya!

Jawab :
k = 100 N/m
m = 250 g = 0,25 kg
T = .....




8.Sebuah bandul matematis memiliki panjang tali 64 cm dan beban massa sebesar 200 gram. Tentukan periode getaran bandul matematis tersebut, gunakan percepatan gravitasi bumi g = 10 m/s²

Jawab :




Catatan:
Massa beban tidak mempengaruhi periode atau frekuensi dari ayunan sederhana (bandul matematis, conis).

9.Dua buah pegas identik dengan kostanta masing-masing sebesar 200 N/m disusun seri seperti terlihat pada gambar berikut.


Beban m sebesar 2 kg digantungkan pada ujung bawah pegas. Tentukan periode sistem pegas tersebut!
Jawab :
Gabungkan konstanta kedua pegas dengan susunan seri:




10.Dua buah pegas dengan kostanta sama besar masing-masing sebesar 150 N/m disusun secara paralel seperti terlihat pada gambar berikut.



Tentukan besar periode dan frekuensi susunan tersebut, jika massa beban m adalah 3 kilogram!

Jawab :

11.Sebuah bandul sederhana dengan panjang tali 39,2 cm dan beban 200 gram .Jika percepatan gravitasi 9,8 m/s² tentukan periode ayunan!

Jawab

T          = 2pÖ l                                                           

       Ög



12.Ayunan sederhana dengan panjang tali L = 0,4 m pada sebuah dinding seperti gambar berikut.



Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s² perkirakan periode ayunan!

Jawab
Periode ayunan adalah setengah dari periode saat panjang tali sebesar L ditambah dengan setengah periode ayunan saat panjang tali sebesar 1/2 L



Sehingga

13.Sebuah benda bergetar hingga membentuk suatu gerak harmonis dengan persamaan

y = 0,04 sin 20π t

dengan y adalah simpangan dalam satuan meter, t adalah waktu dalam satuan sekon. Tentukan beberapa besaran dari persamaan getaran harmonis tersebut:
a) amplitudo
b) frekuensi
c) periode
d) simpangan maksimum
e) simpangan saat t = 1/60 sekon
f) simpangan saat sudut fasenya 45°
g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter

Jawab :

y = A sin ωt

ω = 2π f atau         2π ω = _____         T

a) amplitudo atau A
y = 0,04 sin 20π t
↓
A = 0,04 meter

b) frekuensi atau f
y = 0,04 sin 20π t
↓
ω = 20π

2πf = 20π
f = 10 Hz

c) periode atau T
T = 1/f
T = 1/10 = 0,1 s

d) simpangan maksimum atau y_maks

y = A sin ωt

y = ymaks sin ωt

y = 0,04 sin 20π t
↓
y = y_maks sin ωt

y_maks = 0,04 m

(Simpangan maks = amplitudo)

e) simpangan saat t = 1/60 sekon
y = 0,04 sin 20π t
y = 0,04 sin 20π (1/60)
y = 0,04 sin 1/3 π
y = 0,04 sin 60° = 0,04 × 1/2√3 = 0,02 √3 m

f) simpangan saat sudut fasenya 45°

y = A sin ωt

y = A sin θ

dimana θ adalah sudut fase, θ = ωt

y = 0,04 sin θ
y = 0,04 sin 45° = 0,04 (0,5√2) = 0,02√2 m

g) sudut fase saat simpangannya 0,02 meter
y = 0,04 sin 20π t
y = 0,04 sin θ
0,02 = 0,04 sin θ
sin θ = 1/2
θ = 30°


14.Diberikan sebuah persamaan simpangan gerak harmonik

y = 0,04 sin 100 t

Tentukan:
a) persamaan kecepatan
b) kecepatan maksimum
c) persamaan percepatan

Jawab
a) persamaan kecepatan
Berikut berurutan rumus simpangan, kecepatan dan percepatan:

y = A sin ωt

ν = ωA cos ω t

a = − ω2 A sin ω t

Ket:
y = simpangan (m)
ν = kecepatan (m/s)
a = percepatan (m/s²)

Dari y = 0,04 sin 100 t
ω = 100 rad/s
A = 0,04 m

sehingga:
ν = ωA cos ω t
ν = (100)(0,04) cos 100 t
ν = 4 cos 100 t

b) kecepatan maksimum

ν = ωA cos ω t

ν = νmaks cos ω t

νmaks = ω A

ν = 4 cos 100 t
↓
ν_maks = 4 m/s

c) persamaan percepatan
a = − ω² A sin ω t
a = − (100)² (0,04) sin 100 t
a = − 400 sin 100 t

15.Sebuah benda yang massanya 200 gram bergetar harmonik dengan periode 0,2 sekon dan amplitudo 2 cm. Tentukan :
a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm
c) besar energi total
Jawab :


Data dari soal:
m = 200 g = 0,2 kg
T = 0,2 s → f = 5 Hz
A = 2 cm = 0,02 m = 2 x 10^-2 m

a) besar energi kinetik saat simpangannya 1 cm
y = 1 cm = 0,01 m = 10^-2 m
Ek = ....





b) besar energi potensial saat simpangannya 1 cm


c) besar energi total



16.Tentukan besarnya sudut fase saat :
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya

Jawab :
a) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya
Ek = Ep
1/2 mν² = 1/2 ky²
1/2 m (ω A cos ω t)² = 1/2 mω² (A sin ω t)²
1/2 m ω² A² cos² ω t = 1/2 mω² A² sin² ω t
cos² ω t = sin² ω t
cos ω t = sin ω t
tan ω t = 1
ωt = 45°
Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan energi potensialnya saat sudut fasenya 45°

b) energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya

Ek = 1/3 Ep
1/2 mν² =1/3 x 1/2 ky²
1/2 m (ω A cos ω t)² = 1/3 x 1/2 mω² (A sin ω t)²
1/2 m ω² A² cos² ω t = 1/3 x 1/2 mω² A² sin² ω t
cos² ω t = 1/3 sin² ω t
cos ω t = 1/√3 sin ω t
^{sin ω t} / _{cos ω t} = √3

tan ω t = √3
ω t = 60°

Energi kinetik benda yang bergetar sama dengan sepertiga energi potensialnya saat sudut fasenya 60°

17.Sebuah balok bermassa 0,5 kg dihubungkan dengan sebuah pegas ringan dengan konstanta 200 N/m. Kemudian sistem tersebut berosilasi harmonis. Jika diketahui simpangan maksimumnya adalah 3 cm, maka kecepatan maksimum adalah....
Jawab :
m = 0,5 kg
k = 200 N/m
y_maks = A = 3 cm = 0,03 m
v_maks = ......

Periode getaran pegas :
T = 2π √(m/k)
T = 2π √(0,5/200) = 2π√(1/400) = 2π (1/20) = 0,1 π sekon

v_maks = ω A

               2π
v_maks= ____ x A
                T

                 2π
v_maks = ______ x (0,03) = 0,6 m/s
              0,1 π



18.Sebuah benda bermassa 50 gram bergerak harmonis sederhana dengan amplitudo 10 cm dan periode 0,2 s. Besar gaya yang bekerja pada sistem saat simpangannya setengah amplitudo adalah sekitar....
Jawab :
m = 50 gram = 50 × 10⁻³ kg
A = 10 cm = 0,1 m = 10⁻¹ m
T = 0,2 s
y = 0,5 A
F = ......

Gaya pada gerak harmonis
F = mω²y
dengan:
ω = 2π/T = 2π / 0,2 = 10π rad/s
y = 0,5 A = 0,5(0,1) = 5 × 10⁻²
Sehingga:
F = (50 × 10⁻³)(10π)²(5 × 10⁻²) = 2,5 N